POTENCIA

APUNTES

Definición de Potencia.

Se conoce como potencia de un punto P respecto a una circunferencia O al producto de las distancias desde dicho punto P a los dos puntos de intersección de una secante que pasa por P (PAxPB).

Es un valor constante siempre que se mantenga la distancia OP (entre el centro de la circunferencia y el punto P), por lo que la potencia es independiente de la secante elegida. Esto puede comprobarse contrastando la semejanza existente entre el triángulo PBC y PAD. Ambos triángulos tienen en común el ángulo P exterior a la circunferencia. B y D son ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, por lo tanto son iguales. Y sin más remedio los ángulos A y C deben ser también iguales.

De todo ello se deduce que PA/PC = PD/PB. O lo que es lo mismo, PA x PB = PC x PD.

Cuando el punto P está fuera de la circunferencia, se puede expresar gráficamente la potencia mediante una tangente a la circunferencia que pasa por P. De donde tomamos el segmento comprendido desde P al punto de tangencia.

Si el punto P es interior a la circunferencia, el segmento representativo viene dado por la semicuerda más corta que pasa por P (HP), o lo que es lo mismo, por la semicuerda perpendicular en P al diámetro que pasa por dicho punto.

También se puede expresar la potencia mediante la secante que parte de P y pasa por el centro de la circunferencia. Para ello, llamaremos r al radio de la circunferencia y d a la distancia que separa el punto P del centro de la circunferencia.

Si el punto P es exterior la potencia se expresaría como Potencia = PA x PB = (d - r) x (d + r) = d² - r².

Si el punto P es interior deberemos contemplar el distinto sentido de los segmentos: Potencia = PA x PB = -(r - d) x (r + d) = -(r² - d²) = d² - r².

La posición del punto P queda indicada por la expresión d² - r². Cuando d es mayor que r el punto P es exterior a la circunferencia y la potencia resulta positiva. En cambio, cuando d es menor que r, el punto P es interior a la circunferencia y la potencia resulta negativa.

Cuando d y r sean iguales P es un punto de la circunferencia y la potencia resulta igual a cero.

Potencia de dos circunferencias.

Eje radical.

Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de todos los puntos del plano que tienen la misma potencia para cada una de ellas. Es decir, todos los puntos mantendrán la misma potencia respecto a las dos circunferencias aunque cada punto tenga distinta potencia que el resto de puntos. El eje radical es una perpendicular a la recta que pasa por los centros de las dos circunferencias.

En el caso de circunferencias exteriores deberemos tener en cuenta que el eje radical contendrá los puntos medios de las tangentes comunes, puesto que contiene los puntos de igual potencia respecto a ambas.

Determinación.

Según las posiciones relativas de dos circunferencias el procedimiento para trazar el eje radical varía según los distintos casos:

• Si las circunferencias son secantes, el eje radical estará definido por los dos puntos donde se intersecan las circunferencias.
  

• Si las circunferencias son tangentes interiores o exteriores, el eje radical será perpendicular a la recta que une ambos centros con el punto de tangencia pasando por este último punto.

• Si son exteriores o interiores, deberemos trazar una tercera circunferencia auxiliar que interseque a las dos dadas. Hallaremos los ejes de esta con ambas por el método de secantes. Donde ambos ejes se corten obtendremos un punto por el que pasará el eje radical de las circunferencias dadas, perpendicular a la recta que une los centros de ambas. Una cosa a tener en cuenta es que la circunferencia auxiliar no podrá tener su centro alineado con los de las circunferencias dadas. En ese caso ambos ejes serían paralelos y el punto de intersección impropio.
  

• Si son concéntricas, el eje radical es impropio.

• Centro radical.

  Se denomina centro radical al punto que está a igual potencia respecto a tres circunferencias. Es fruto de la intersección de los ejes radicales de cada pareja de circunferencias tomadas de las tres existentes.

Fuente: profesordedibujo.com

APLICACIÓN DE POTENCIA A PROBLEMAS DE TANGENCIA

Circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia conociendo el punto de tangencia en la recta

Circunferencia tangente a una recta y que pase por dos puntos

Circunferencia tangente a una recta y a una circunferencia conociendo el punto de tangencia en la circunferencia

Circunferencias tangentes a dos circunferencias conociendo un punto de tangencia.